Lastträgheit – Bedeutung, Berechnung und Einfluss auf CNC-Antriebe
Die Lastträgheit beschreibt den Widerstand einer bewegten Last gegen eine Änderung ihres Bewegungszustands. Sie beeinflusst, wie viel Kraft oder Drehmoment benötigt wird, um eine Last zu beschleunigen oder abzubremsen.
Bei rotierenden Antrieben wird die Lastträgheit durch das Massenträgheitsmoment der angetriebenen Bauteile beschrieben. Bei einer geradlinigen Bewegung ist zunächst die bewegte Masse maßgebend.
Für einen CNC-Achsantrieb ist die Lastträgheit deshalb eine wichtige Größe bei der Auswahl von Motor, Übersetzung und Beschleunigungsprofil.
Kurz gesagt:
Lastträgheit = Widerstand der angetriebenen Last gegen Beschleunigung und Verzögerung.
Was bedeutet Lastträgheit?
Eine ruhende Last muss beschleunigt werden, um sich zu bewegen. Eine bewegte Last muss verzögert werden, um ihre Geschwindigkeit zu verringern oder anzuhalten.
Je größer ihre Trägheit ist, desto mehr Kraft beziehungsweise Drehmoment wird für dieselbe Beschleunigung benötigt.
Im Antriebsbereich bezeichnet die Lastträgheit üblicherweise die Trägheit der angetriebenen Mechanik ohne den Motorrotor. Für die vollständige Auslegung müssen zusätzlich die Rotorträgheit und weitere bewegte Antriebskomponenten berücksichtigt werden.
Unterschied zwischen Masse und Massenträgheitsmoment
Masse und Massenträgheitsmoment sind unterschiedliche Größen.
| Größe | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Masse | Maß für die Trägheit bei einer geradlinigen Beschleunigung | kg |
| Massenträgheitsmoment | Maß für die Trägheit gegenüber einer Winkelbeschleunigung um eine bestimmte Achse | kg·m² |
Bei einer geradlinigen Bewegung hängt die erforderliche Beschleunigungskraft von der Masse ab.
Bei einer Drehbewegung kommt zusätzlich die Verteilung der Masse um die Drehachse hinzu.
Zwei Bauteile mit derselben Masse können deshalb deutlich unterschiedliche Massenträgheitsmomente besitzen.
Warum ist die Masseverteilung wichtig?
Masse, die weit von der Drehachse entfernt liegt, trägt stärker zum Massenträgheitsmoment bei als Masse nahe der Achse.
Für einzelne Massepunkte gilt:
J = Σ(m × r²)
Dabei gilt:
- J = Massenträgheitsmoment
- m = jeweilige Masse
- r = senkrechter Abstand zur Drehachse
- Σ = Summe aller Beiträge
Der Abstand geht quadratisch in die Berechnung ein.
Wird der Abstand einer Masse zur Drehachse verdoppelt, vervierfacht sich ihr Beitrag zum Massenträgheitsmoment.
Das ist beispielsweise bei Rundtischen, Spannfuttern und rotierenden Werkstücken wichtig.
Massenträgheitsmoment berechnen
Die passende Formel hängt von der Bauteilgeometrie und der betrachteten Drehachse ab.
Vollzylinder um seine Längsachse
Für einen gleichmäßig aufgebauten Vollzylinder gilt:
J = ½ × m × r²
Dabei gilt:
- m = Masse in kg
- r = Radius in m
- J = Massenträgheitsmoment in kg·m²
Beispiel
Ein zylindrisches Bauteil besitzt:
- Masse: 10 kg
- Radius: 0,10 m
Berechnung:
J = ½ × 10 × 0,10²
J = 0,05 kg·m²
Der Wert gilt für die Drehung um die zentrale Längsachse.
Hohlzylinder um seine Längsachse
Für einen gleichmäßig aufgebauten Hohlzylinder gilt:
J = ½ × m × (rₐ² + rᵢ²)
Dabei gilt:
- rₐ = Außenradius
- rᵢ = Innenradius
Bei komplexen Bauteilen kann das Massenträgheitsmoment aus einzelnen Teilkörpern oder mithilfe eines CAD-Systems bestimmt werden. Materialdichte und Bezugsachse müssen dabei korrekt festgelegt sein.
Lastträgheit und Beschleunigungsdrehmoment
Für eine rotierende Bewegung gilt:
Mᵦ = J × α
Dabei gilt:
- Mᵦ = Beschleunigungsdrehmoment in Nm
- J = wirksames Massenträgheitsmoment in kg·m²
- α = Winkelbeschleunigung in rad/s²
Eine größere Trägheit benötigt bei gleicher Winkelbeschleunigung ein höheres Drehmoment.
Beispiel
Gegeben sind:
- wirksames Massenträgheitsmoment: 0,05 kg·m²
- Winkelbeschleunigung: 20 rad/s²
Berechnung:
Mᵦ = 0,05 × 20
Mᵦ = 1 Nm
Dieses Drehmoment wird allein für die Beschleunigung benötigt.
Reibung, Prozesskräfte und gegebenenfalls Gewichtskräfte müssen zusätzlich berücksichtigt werden. Für die tatsächliche Motorauslegung ist das gesamte auf die Motorwelle bezogene Trägheitsmoment maßgebend.
Lastträgheit bei linearen CNC-Achsen
Bei einer linearen Achse werden beispielsweise folgende Bauteile bewegt:
- Maschinentisch
- Schlitten
- Werkstück
- Spannmittel
- mitbewegte Anbauteile
Die erforderliche Beschleunigungskraft beträgt:
Fᵦ = m × a
Dabei gilt:
- Fᵦ = Beschleunigungskraft in N
- m = bewegte Masse in kg
- a = Beschleunigung in m/s²
Beispiel
Eine Achse bewegt insgesamt 80 kg und soll mit 2 m/s² beschleunigen.
Fᵦ = 80 × 2
Fᵦ = 160 N
Zusätzlich muss der Antrieb die Reibungs- und Prozesskräfte überwinden. Bei einer vertikalen Achse kommt die Gewichtskraft hinzu.
Auf die Motorwelle bezogene Lastträgheit
Ein rotierender Motor kann eine lineare Last über eine Gewindespindel bewegen. Für den Vergleich mit der Rotorträgheit wird die bewegte Masse in ein äquivalentes Massenträgheitsmoment umgerechnet.
Bei einem idealisierten, direkt angetriebenen Kugelgewindetrieb gilt:
Jₗᵢₙ = m × (p ÷ 2π)²
Dabei gilt:
- Jₗᵢₙ = äquivalentes Massenträgheitsmoment der linearen Last
- m = bewegte Masse in kg
- p = axialer Verfahrweg pro Spindelumdrehung in m
Die Formel beschreibt die kinematisch umgerechnete Trägheit. Verluste der Übertragung müssen bei der Drehmomentberechnung zusätzlich berücksichtigt werden.
Beispiel
Gegeben sind:
- bewegte Masse: 80 kg
- Spindelsteigung: 5 mm pro Umdrehung
- direkter Antrieb
Die Steigung wird zunächst umgerechnet:
5 mm = 0,005 m
Berechnung:
Jₗᵢₙ = 80 × (0,005 ÷ 2π)²
Jₗᵢₙ ≈ 0,0000507 kg·m²
Hinzu kommen die Trägheitsmomente der rotierenden Spindel, der Kupplung und weiterer Antriebskomponenten.
Welchen Einfluss hat die Spindelsteigung?
Bei gleicher bewegter Masse steigt die äquivalente Lastträgheit quadratisch mit dem Verfahrweg pro Spindelumdrehung.
Wird die Steigung von 5 mm auf 10 mm verdoppelt, vervierfacht sich der entsprechende Trägheitsbeitrag.
Gleichzeitig erreicht die Achse bei gleicher Spindeldrehzahl den doppelten Vorschub.
Eine größere Steigung muss deshalb gemeinsam mit folgenden Anforderungen bewertet werden:
- gewünschter Vorschub
- erforderliche Vorschubkraft
- Beschleunigung
- verfügbare Motordrehzahl
- Drehmomentverlauf
- Spindellänge und zulässige Drehzahl
Eine kleinere Steigung kann die auf den Motor bezogene Lastträgheit reduzieren, erfordert für denselben Vorschub jedoch eine höhere Drehzahl.
Wie beeinflusst eine Untersetzung die Lastträgheit?
Eine Untersetzung reduziert die auf die Motorwelle bezogene Trägheit einer rotierenden Last.
Für eine idealisierte Übertragung gilt:
Jᵣₑ𝒻 = Jₗ ÷ i²
Dabei gilt:
- Jᵣₑ𝒻 = auf die Motorwelle bezogene Lastträgheit
- Jₗ = Trägheitsmoment auf der Lastseite
- i = Motordrehzahl ÷ Lastdrehzahl
Beispiel
Gegeben sind:
- Lastträgheitsmoment: 0,08 kg·m²
- Untersetzung: i = 4
Berechnung:
Jᵣₑ𝒻 = 0,08 ÷ 4²
Jᵣₑ𝒻 = 0,005 kg·m²
Die auf den Motor bezogene Lastträgheit beträgt damit ein Sechzehntel des ursprünglichen Werts.
Die Motorwelle muss für dieselbe Lastdrehzahl allerdings viermal so schnell drehen. Getriebeträgheit, Wirkungsgrad, Spiel und Steifigkeit müssen ebenfalls berücksichtigt werden.
Was ist das Trägheitsverhältnis?
Das Trägheitsverhältnis setzt die auf die Motorwelle bezogene Lastträgheit ins Verhältnis zur Rotorträgheit:
Trägheitsverhältnis = Jₗₐₛₜ,ᵣₑ𝒻 ÷ Jᵣₒₜₒᵣ
Beispiel
Gegeben sind:
- bezogene Lastträgheit: 0,0008 kg·m²
- Rotorträgheit: 0,0002 kg·m²
Berechnung:
0,0008 ÷ 0,0002 = 4
Das Trägheitsverhältnis beträgt 4:1.
Ein zulässiges Verhältnis darf nicht pauschal für alle Antriebe festgelegt werden. Motor, Treiber, Regelung, mechanische Steifigkeit und Bewegungsprofil bestimmen gemeinsam den geeigneten Bereich.
Lastträgheit bei Schrittmotoren
Bei einem Schrittmotor beeinflusst die Lastträgheit, wie schnell der Antrieb beschleunigen und abbremsen kann.
Wird eine große Trägheit zu schnell beschleunigt, kann das erforderliche Drehmoment die verfügbare Drehmomentreserve überschreiten.
Mögliche Folgen sind:
- verzögertes Anlaufen
- Schwingungen
- Schrittverluste
- Stillstand
- Positionsabweichungen
Das Haltemoment allein reicht zur Auswahl nicht aus. Entscheidend ist das verfügbare Drehmoment bei der jeweiligen Drehzahl.
Geeignete Beschleunigungs- und Bremsrampen müssen zur gesamten bewegten Mechanik passen.
Lastträgheit und Regelverhalten
Bei geregelten Antrieben beeinflusst die Lastträgheit die Reaktion auf Bewegungsvorgaben und Störungen.
Eine Änderung der Last kann deshalb eine Anpassung der Reglereinstellung erforderlich machen.
Das betrifft beispielsweise:
- wechselnde Werkstückmassen
- unterschiedliche Spannmittel
- veränderte Rundtischbeladung
- Umbauten an der Achsmechanik
Die Regelung muss außerdem die Steifigkeit und mögliche Schwingungen des Antriebsstrangs berücksichtigen.
Eine hohe Reglerverstärkung ersetzt keine ausreichende Motorleistung und keine stabile Mechanik.
Lastträgheit bei Rund- und Schwenkachsen
Bei einer A-Achse hängt die Lastträgheit besonders von der Verteilung der Masse um die Drehachse ab.
Ein großes Werkstück kann trotz moderater Masse ein hohes Massenträgheitsmoment besitzen.
Zu berücksichtigen sind:
- Werkstück
- Spannfutter
- Spannvorrichtung
- Drehteller
- Getriebe
- Kupplung
Zusätzlich kann bei einer horizontal liegenden Drehachse ein lageabhängiges Gewichtsmoment auftreten. Dieses ist vom Trägheitsmoment zu unterscheiden.
Warum ist ein größerer Motor nicht automatisch besser?
Ein größerer Motor kann mehr Drehmoment bereitstellen. Gleichzeitig besitzt er häufig eine größere Rotorträgheit.
Diese Rotorträgheit muss bei jeder Beschleunigung ebenfalls überwunden werden.
Die Auswahl sollte deshalb nicht allein nach Baugröße oder Haltemoment erfolgen, sondern anhand von:
- gesamter wirksamer Trägheit
- Beschleunigungsanforderung
- Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie
- Lastmoment
- Betriebszyklus
- thermischer Belastbarkeit
Häufige Fehler bei der Berechnung
Masse mit Massenträgheitsmoment verwechselt
Eine Angabe in kg reicht für die Bewertung einer rotierenden Last nicht aus. Geometrie und Drehachse müssen berücksichtigt werden.
Lastträgheit nicht auf die Motorwelle umgerechnet
Bei einer Übersetzung müssen die Trägheitsmomente auf dieselbe Bezugswelle umgerechnet werden.
Untersetzung nur linear berücksichtigt
Die Trägheitsumrechnung erfolgt mit dem Quadrat des Drehzahlverhältnisses.
Millimeter statt Meter eingesetzt
In den Formeln mit der Einheit kg·m² müssen Radien und Spindelsteigungen in Metern eingesetzt werden.
Spindel und Kupplung vergessen
Auch die rotierenden Übertragungskomponenten tragen zur gesamten Trägheit bei.
Reibung und Trägheit gleichgesetzt
Trägheit verursacht bei einer Geschwindigkeitsänderung zusätzlichen Kraft- beziehungsweise Drehmomentbedarf. Reibung kann auch bei konstanter Geschwindigkeit wirken.
Häufig gestellte Fragen zur Lastträgheit
Ist Lastträgheit dasselbe wie Gewicht?
Nein. Gewicht ist eine Kraft durch die Gravitation. Trägheit beschreibt den Widerstand gegen eine Bewegungsänderung.
Benötigt eine hohe Lastträgheit ständig mehr Drehmoment?
Nicht allein wegen der Trägheit. Bei ideal gleichförmiger Bewegung entsteht kein Beschleunigungsdrehmoment. Reibung und Arbeitslast bleiben trotzdem wirksam.
Kann eine Untersetzung die Lastträgheit reduzieren?
Sie reduziert die auf den Motor bezogene Lastträgheit. Die physische Trägheit der Last selbst bleibt unverändert.
Kann Lastträgheit Schrittverluste verursachen?
Ja, wenn die verlangte Beschleunigung mehr Drehmoment benötigt, als der Antrieb bereitstellen kann.
Gibt es ein ideales Trägheitsverhältnis?
Es gibt keinen allgemeingültigen Wert für alle Antriebe. Maßgebend sind die Herstellerangaben und die konkrete Auslegung.
Kurz erklärt
Die Lastträgheit beeinflusst, wie viel Kraft oder Drehmoment zum Beschleunigen und Abbremsen einer Last benötigt wird.
Bei rotierenden Bauteilen sind Masseverteilung und Drehachse entscheidend. Bei linearen Achsen muss die bewegte Masse über die Übertragung auf die Motorwelle bezogen werden.
Ein geeigneter CNC-Antrieb entsteht durch das Zusammenspiel von Motor, Mechanik, Übersetzung und Bewegungsprofil.