Rotorträgheit – Bedeutung, Berechnung und Einfluss auf CNC-Antriebe
Die Rotorträgheit beschreibt das Massenträgheitsmoment des rotierenden Teils eines Motors um seine Drehachse. Sie bestimmt mit, wie viel Drehmoment benötigt wird, um den Motorrotor zu beschleunigen oder abzubremsen.
Auch ohne angeschlossene Last muss ein Motor seine eigene rotierende Masse in Bewegung setzen. Bei der Auslegung eines CNC-Achsantriebs muss deshalb neben der Lastträgheit auch die Rotorträgheit berücksichtigt werden.
Kurz gesagt:
Rotorträgheit = Massenträgheitsmoment des Motorrotors um seine Drehachse.
Was ist die Rotorträgheit?
Der Rotor ist der drehende Teil eines Motors. Zu ihm gehören je nach Motorbauart beispielsweise:
- Motorwelle
- Rotorblechpaket
- Permanentmagnete
- rotierende Wicklungen oder Leiter
- weitere fest mit dem Rotor verbundene Bauteile
Diese Komponenten besitzen Masse und sind in unterschiedlichen Abständen zur Drehachse angeordnet.
Die Rotorträgheit beschreibt den Widerstand dieser rotierenden Masse gegen eine Änderung der Drehzahl.
Im Datenblatt wird sie beispielsweise bezeichnet als:
- Rotorträgheit
- Rotorträgheitsmoment
- Massenträgheitsmoment des Rotors
- Rotor inertia
Übliche Formelzeichen sind Jᵣ, Jₘ oder J₀. Die jeweilige Bedeutung muss anhand der Herstellerangaben geprüft werden.
Unterschied zwischen Rotorträgheit und Lastträgheit
Rotorträgheit und Lastträgheit betreffen unterschiedliche Teile eines Antriebs.
| Merkmal | Rotorträgheit | Lastträgheit |
|---|---|---|
| Zugehörige Komponenten | Rotierende Teile des Motors | Angetriebene Mechanik und Last |
| Beispiele | Rotorblechpaket, Magnete, Motorwelle | Spindel, Kupplung, Rundtisch, Werkstück |
| Veränderung bei anderem Werkstück | Normalerweise unverändert | Kann sich ändern |
| Bedeutung bei der Auslegung | Muss mitbeschleunigt werden | Muss ebenfalls beschleunigt werden |
| Bezugsachse | Motorachse | Muss für den Vergleich auf die Motorwelle bezogen werden |
Für die Beschleunigung ist die gesamte wirksame Trägheit entscheidend.
Ein Motor muss sowohl seinen eigenen Rotor als auch die angeschlossene Last beschleunigen.
In welcher Einheit wird die Rotorträgheit angegeben?
Die SI-Einheit lautet:
kg·m²
In Motordatenblättern werden auch andere Einheiten oder Skalierungen verwendet.
| Angabe | Umrechnung in kg·m² |
|---|---|
| 1 kg·cm² | 0,0001 kg·m² |
| 1 g·cm² | 0,0000001 kg·m² |
| 1 kg·mm² | 0,000001 kg·m² |
Beispiel
Ein Datenblatt nennt:
Rotorträgheit: 800 g·cm²
Die Umrechnung ergibt:
800 × 0,0000001 = 0,00008 kg·m²
Besondere Aufmerksamkeit benötigen Tabellenüberschriften wie:
Rotorträgheit [kg·m² × 10⁻⁴]
Steht darunter der Wert 2,5, bedeutet dies:
2,5 × 10⁻⁴ = 0,00025 kg·m²
Ein übersehener Skalierungsfaktor kann die gesamte Antriebsberechnung verfälschen.
Wie entsteht die Rotorträgheit?
Die Rotorträgheit hängt von der Masse und ihrer Verteilung um die Drehachse ab.
Für einzelne Massepunkte gilt:
J = Σ(m × r²)
Dabei gilt:
- J = Massenträgheitsmoment
- m = jeweilige Masse
- r = senkrechter Abstand zur Drehachse
- Σ = Summe aller Beiträge
Masse weit außen trägt stärker zur Rotorträgheit bei als Masse nahe der Motorwelle.
Wird der Abstand einer bestimmten Masse zur Drehachse verdoppelt, vervierfacht sich ihr Beitrag zum Massenträgheitsmoment.
Die Rotorträgheit lässt sich deshalb nicht allein aus dem Gesamtgewicht des Motors ableiten. Das feststehende Motorgehäuse wird schließlich nicht mitbeschleunigt.
Rotorträgheit näherungsweise berechnen
Für einen idealisierten, gleichmäßig aufgebauten Vollzylinder um seine zentrale Längsachse gilt:
J = ½ × m × r²
Dabei gilt:
- m = rotierende Masse in kg
- r = Radius in m
- J = Massenträgheitsmoment in kg·m²
Beispiel
Ein vereinfachter Rotor besitzt:
- Masse: 0,8 kg
- Radius: 0,025 m
Berechnung:
J = ½ × 0,8 × 0,025²
J = 0,00025 kg·m²
Die Formel eignet sich für eine überschlägige Betrachtung eines zylindrischen Körpers.
Ein realer Motorrotor besteht jedoch häufig aus mehreren Bauteilen mit unterschiedlichen Geometrien und Werkstoffen. Für die Motorauslegung sollte deshalb die Rotorträgheit aus dem Datenblatt verwendet werden.
Rotorträgheit und Beschleunigungsdrehmoment
Das Drehmoment für eine Winkelbeschleunigung wird berechnet mit:
Mᵦ = J × α
Dabei gilt:
- Mᵦ = Beschleunigungsdrehmoment in Nm
- J = wirksames Massenträgheitsmoment in kg·m²
- α = Winkelbeschleunigung in rad/s²
Für den Rotor allein gilt entsprechend:
Mᵦ,ᵣ = Jᵣ × α
Bei gleicher Winkelbeschleunigung benötigt ein Rotor mit größerem Trägheitsmoment mehr Drehmoment.
Beispiel
Gegeben sind:
- Rotorträgheit: 0,00025 kg·m²
- Winkelbeschleunigung: 1.000 rad/s²
Berechnung:
Mᵦ,ᵣ = 0,00025 × 1.000
Mᵦ,ᵣ = 0,25 Nm
Dieses Drehmoment wird allein benötigt, um den Rotor mit der angegebenen Winkelbeschleunigung zu beschleunigen.
Die angeschlossene Last, Reibung und weitere Belastungen sind darin noch nicht enthalten.
Winkelbeschleunigung aus Drehzahl und Zeit berechnen
Bei einer gleichmäßigen Drehzahländerung gilt:
α = Δω ÷ Δt
Die Winkelgeschwindigkeit wird aus der Drehzahl berechnet:
ω = 2π × n ÷ 60
Dabei gilt:
- ω = Winkelgeschwindigkeit in rad/s
- n = Drehzahl in U/min
- Δt = Zeit für die Drehzahländerung in s
Beispiel: Beschleunigung auf 600 U/min
Ein Motor soll innerhalb von 0,1 s aus dem Stillstand auf 600 U/min beschleunigen.
Zunächst wird die Drehzahl umgerechnet:
ω = 2π × 600 ÷ 60
ω ≈ 62,83 rad/s
Daraus folgt:
α = 62,83 ÷ 0,1
α ≈ 628,3 rad/s²
Bei einer Rotorträgheit von 0,00025 kg·m² ergibt sich:
Mᵦ,ᵣ = 0,00025 × 628,3
Mᵦ,ᵣ ≈ 0,157 Nm
Der Motor benötigt unter diesen Annahmen etwa 0,157 Nm allein für die Rotorbeschleunigung.
Gesamte Trägheit eines Antriebs
Für die Motorauslegung müssen alle Trägheitsbeiträge auf dieselbe Bezugswelle umgerechnet werden.
Bei Bezug auf die Motorwelle gilt vereinfacht:
J𝓰ₑₛ = Jᵣₒₜₒᵣ + Jₗₐₛₜ,ᵣₑ𝒻
Die bezogene Lastträgheit muss dabei sämtliche relevanten externen Komponenten enthalten.
Dazu können gehören:
- Kupplung
- Riemenscheiben
- Getriebe
- Gewindespindel
- Spannmittel
- Werkstück
- umgerechnete lineare Masse
Bei einer CNC-Linearachse mit Kugelgewindetrieb müssen sowohl die rotierende Spindel als auch die über ihre Steigung umgerechnete bewegte Masse berücksichtigt werden.
Für eine gewünschte Winkelbeschleunigung gilt:
Mᵦ = J𝓰ₑₛ × α
Zusätzlich müssen die übrigen Lastmomente und Übertragungsverluste berücksichtigt werden.
Niedrige und hohe Rotorträgheit
Niedrige Rotorträgheit
Eine niedrige Rotorträgheit reduziert das Drehmoment, das für die Beschleunigung des Rotors selbst benötigt wird.
Das kann bei folgenden Aufgaben vorteilhaft sein:
- schnelle Positionierbewegungen
- häufige Richtungswechsel
- kurze Beschleunigungszeiten
- dynamische Bewegungsprofile
Eine niedrige Rotorträgheit allein garantiert jedoch keinen leistungsfähigen Antrieb. Entscheidend bleiben das verfügbare Drehmoment und die angeschlossene Last.
Hohe Rotorträgheit
Eine höhere Rotorträgheit erhöht den Drehmomentbedarf für die Eigenbeschleunigung.
Gleichzeitig verändert sie die dynamischen Eigenschaften des Antriebs. Bei bestimmten Lasten und Regelungskonzepten kann ein Motor mit höherer Rotorträgheit eine geeignete Wahl sein.
Weder eine möglichst niedrige noch eine möglichst hohe Rotorträgheit ist für jede Anwendung optimal.
Was bedeutet das Trägheitsverhältnis?
Das Trägheitsverhältnis setzt die auf die Motorwelle bezogene Lastträgheit ins Verhältnis zur Rotorträgheit:
Trägheitsverhältnis = Jₗₐₛₜ,ᵣₑ𝒻 ÷ Jᵣₒₜₒᵣ
Beispiel
Gegeben sind:
- bezogene Lastträgheit: 0,001 kg·m²
- Rotorträgheit: 0,0002 kg·m²
Berechnung:
0,001 ÷ 0,0002 = 5
Das Verhältnis beträgt 5:1.
Ein größerer Rotor kann dieses Verhältnis rechnerisch verringern. Gleichzeitig steigt jedoch die gesamte zu beschleunigende Trägheit.
Ein günstigerer Verhältniswert allein beweist deshalb keine bessere Beschleunigungsfähigkeit.
Die zulässigen und sinnvollen Verhältnisse hängen von Motor, Treiber, Regelung, Mechanik und Bewegungsprofil ab.
Rotorträgheit bei Schrittmotoren
Bei einem Schrittmotor beeinflusst die Rotorträgheit das Anlauf-, Beschleunigungs- und Schwingungsverhalten.
Für eine Bewegung muss ausreichend Drehmoment vorhanden sein, um Rotor und Last zu beschleunigen.
Wird eine zu hohe Beschleunigung vorgegeben, kann der Rotor der elektrischen Ansteuerung nicht mehr folgen.
Mögliche Folgen sind:
- Schwingungen
- verzögertes Anlaufen
- Schrittverluste
- Stillstand
- Positionsabweichungen
Für die Auswahl müssen deshalb die Rotorträgheit, die bezogene Lastträgheit und die Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie gemeinsam betrachtet werden.
Rotorträgheit und Haltemoment
Das Haltemoment beschreibt die statische Belastbarkeit eines bestromten Schrittmotors unter festgelegten Bedingungen.
Die Rotorträgheit beschreibt dagegen den Widerstand gegen eine Drehzahländerung.
Ein Motor mit höherem Haltemoment kann zugleich eine höhere Rotorträgheit besitzen. Seine Beschleunigungsfähigkeit muss dadurch nicht im gleichen Verhältnis steigen.
Auch das inkrementelle Drehmoment ist davon zu unterscheiden. Es betrifft das Drehmoment bei kleinen Änderungen der vorgegebenen Schrittposition.
Rotorträgheit und Bremsen
Beim Abbremsen muss die Drehzahl von Rotor und Last verringert werden.
Die gespeicherte Rotationsenergie beträgt:
Eᵣₒₜ = ½ × J × ω²
Dabei gilt:
- Eᵣₒₜ = Rotationsenergie in J
- J = Massenträgheitsmoment in kg·m²
- ω = Winkelgeschwindigkeit in rad/s
Eine höhere Trägheit bedeutet bei gleicher Drehzahl mehr gespeicherte Bewegungsenergie.
Wie diese Energie beim Bremsen verarbeitet wird, hängt vom Antriebssystem ab. Sie kann beispielsweise teilweise in den elektrischen Zwischenkreis zurückgespeist oder in Wärme umgesetzt werden.
Die Auslegung muss deshalb auch Verzögerung, Bremsenergie und zulässige Betriebsspannungen berücksichtigen.
Einfluss einer Untersetzung
Eine Untersetzung verändert die auf die Motorwelle bezogene Lastträgheit.
Die eigene Rotorträgheit des Motors bleibt dabei unverändert.
Für eine idealisierte Übersetzung gilt:
Jₗₐₛₜ,ᵣₑ𝒻 = Jₗₐₛₜ ÷ i²
Dabei ist:
i = Motordrehzahl ÷ Lastdrehzahl
Eine Untersetzung kann die bezogene Lastträgheit reduzieren. Der Motor muss für dieselbe Lastgeschwindigkeit jedoch schneller drehen.
Zusätzlich sind Getriebeträgheit, Wirkungsgrad, Spiel und Steifigkeit zu berücksichtigen.
Häufige Fehler bei der Bewertung
Motorgewicht als Rotorträgheit verwendet
Das Gesamtgewicht enthält auch feststehende Bauteile. Es ersetzt keine Angabe zum Rotorträgheitsmoment.
Einheiten falsch umgerechnet
Angaben in g·cm² oder kg·cm² müssen vor der Berechnung korrekt in kg·m² umgerechnet werden.
Rotorträgheit nicht berücksichtigt
Auch der unbelastete Motor benötigt Drehmoment für seine eigene Beschleunigung.
Motor nur nach Haltemoment ausgewählt
Das Drehmoment bei Arbeitsdrehzahl und die gesamte wirksame Trägheit sind ebenfalls entscheidend.
Trägheitsverhältnis isoliert betrachtet
Ein kleinerer Verhältniswert kann durch eine größere Rotorträgheit entstehen, ohne die Dynamik zu verbessern.
Unterschiedliche Bezugswellen vermischt
Rotor- und Lastträgheit dürfen erst addiert oder verglichen werden, wenn sie auf dieselbe Welle bezogen sind.
Häufig gestellte Fragen zur Rotorträgheit
Ist Rotorträgheit dasselbe wie Rotormasse?
Nein. Die Rotorträgheit berücksichtigt zusätzlich die Verteilung der Masse um die Drehachse.
Ist eine geringe Rotorträgheit immer besser?
Nein. Sie kann schnelle Beschleunigungen erleichtern. Der Motor muss aber auch hinsichtlich Drehmoment und Regelverhalten zur Last passen.
Verändert eine Untersetzung die Rotorträgheit?
Die eigene Rotorträgheit des Motors bleibt gleich. Verändert wird die auf den Motor bezogene Trägheit der angeschlossenen Last.
Benötigt Rotorträgheit bei konstanter Drehzahl zusätzliches Drehmoment?
Bei ideal konstanter Drehzahl entsteht kein Beschleunigungsdrehmoment. Reibung und äußere Lasten benötigen trotzdem Drehmoment.
Kann eine hohe Rotorträgheit Schrittverluste begünstigen?
Bei gleichem verfügbarem Drehmoment erhöht eine größere Gesamtträgheit den Bedarf für eine vorgegebene Beschleunigung. Wird die Drehmomentreserve überschritten, können Schrittverluste entstehen.
Wo finde ich die Rotorträgheit?
Üblicherweise im Motordatenblatt unter Rotorträgheit, Rotorträgheitsmoment oder Rotor inertia.
Kurz erklärt
Die Rotorträgheit ist das Massenträgheitsmoment des drehenden Motorteils.
Sie beeinflusst das Drehmoment, das der Motor für seine eigene Beschleunigung und Verzögerung benötigt.
Für einen geeigneten CNC-Antrieb müssen Rotorträgheit, bezogene Lastträgheit, Drehmomentverlauf und Bewegungsprofil gemeinsam bewertet werden.